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鲍勃有根救命稻草——他完全可以不做很长的除法就找到要求的余数r。实际上,余数仅仅取决于余数。这里我们举一个例子来说明:739的最后两位是多少?(换句话说,当这个数被100除后余多少?)为了回答这个问题,我们可以从计算7的前几次幂开始:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16 807,…。不过很快我们就发现,离739还远着的时候,这些数已经变得相当大,我们都处理不过来了。另外,随着我们算出一个又一个幂次,一个关键的规律出现了。当计算连续的幂次时,结果的最后两位数字仅依赖于前一个数的最后两位。这是因为我们做乘法时,百位及以上的数字并不会影响到结果在个位和十位上的数字。
同时,因为74末尾两位是01,所以接下来四个幂的末尾依次是07,49,43,接着又是01。因此,随着我们挨个计算幂次,末尾两位的数字只会一遍又一遍地重复这个长度为4的循环。回到我们手上的问题,由于39=4×9+3,我们会经历这个循环9次,然后还需要三步来计算739的最后两位数,因此结果一定是43。

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